فراکتال چیست ؟

     هنگامی که برای اولین بار به فراگیری فراکتال ها فکر کردم ، تصور من هم مثل شما این بود که به دانش پیشرفته ای نیاز دارد من هنوز آمادگی یادگیری آن را ندارم . اما اشتباه می کردم . با وجود این که دوست داشتم بگویم که هندسه ی فراکتال ها خیلی دشوار است و شما باید به اندازه ی من با هوش باشید تا آن را درک کنید ، اما حقیقتاً بسیار ساده است . این مبحث به دانستن سه مطلب اصلی که در جبر سال دوم آموختیم ، نیاز دارد :

الف) توابع              ب) نمودارها              ج) اعداد موهومی

    یک تابع، معادله ای است که از دو مختص استفاده می کند و مختصات جدیدی به شما می دهد.به عنوان مثال در f(x)=3x-1  ، f(x) همان y  و 3  شیب ( سه واحد به سمت بالا و یک واحد به سمت راست ) و (1-) نقطه ی شروع می باشد . این تابع را به صورت زیر رسم می کنیم .                           

        البته نمودارها ، مطالب متفاوتی را بیان می کنند . از آن ها می توان برای پیش بینی ها به خوبی استفاده کرد . به عنوان مثال ، یک ماشین با سرعت 50 کیلومتر در ساعت در حال حرکت است . در عرض 2 ساعت چه مسافتی طی می کند ؟ با رسم یک نمودار می توان مسافت طی شده را ، با همان سرعت در 5 ، 10 و حتی 150  ساعت پیش بینی کرد . برای نمودارهای مختلف توابع متفاوتی وجود دارد.نمی توان از نمودار یک اتومبیل برای یافتن زمانی که به طول می ـ  انجامد تا یک توپ از بالای یک ساختمان 2000 فوتی به طرف زمین رها می شود ، استفاده کرد.

زیرا یک توپ مثل اتومبیل ، از سرعت ثابتی پیروی نمی کند و نمودار آن مسلماً به صورت منحنی است . تمام این واقعیات وقتی صادقند که به فراکتال ها رجوع شود . به طور ساده ، یک فراکتال نوع متفاوتی از توابع است .

        امیدوارم که گیج نشده باشید . اگر شما آمادگی ورود به مبحث عنصر سوم هندسه ی فراکتال ، یعنی اعداد موهومی را دارید ، به قسمت بعد رجوع کنید .

بنابراین گیج نشده اید . بسیار خوب ، پیش می رویم . آن چه را که درباره ی این حقیقت که فراکتال ، نموداری از یک تابع متفاوت است ، به یاد آورید . تابع f(x)=f(x)*f(x)+c  یا f(x)=f(x)^2+c  یک تابع فراکتال است که به قانون بازگشت معروف است . این معادله ی به خصوص یک فراکتال معروف ، موسوم به مجموعه ی جولیان را تشکیل می دهد .

        در این معادله c یک عدد مختلط (شامل یک عدد موهومی) است که می تواند هر مقداری باشد و نتیجه ی آن یک مجموعه ی جولیان متفاوت باشد. n به جای مختصات نقطه قرار می گیرد

این موضوع را در نظر داشته باشید زیرا به زودی به آن باز می گردیم . این مختصات ویژه هستند زیرا همان طور که حدس زدید اعداد موهومی را در بر می گیرند.هنگامی که این مختصات

(x,y) هستند ، در هندسه ی فراکتال به صورت x+iy نشان داده می شوند . به عبارت دیگر ، x

مقداری ثابت و y  یک عدد موهومی است . همان طور که در هندسه ی فراکتال ها مشاهده کردید، محور x نشان دهنده ی اعداد حقیقی و محور y  نشان دهنده ی اعداد موهومی است .

حال به تابع فراکتال بر می گردیم . از مختصات (x+iy) به جای n استفاده می کنیم . حالا می پرسید که این تابع چه طور نمودارهای بزرگ فراکتال را می سازد . بسیار خوب ، نتیجه ی یک تابع ، به جای این که یک خط شود ، تنها یک نقطه را نمایش می دهد ـ که اگر ما به تعریف یک نقطه نگاه کنیم ، می تواند بی نهایت کوچک باشد ـ  که بیان می کند چه طور می توانیم یک قسمت از یک فراکتال را بزرگ کرده و به فراکتال جدید کاملی برسیم . نقطه در مختصات n قرار دارد . البته فراکتال ها بسیار رنگارنگ هستند. حالا این رنگ ها چه طور انتخاب می شوند؟ مثل هر چیز دیگر ، نسبتاً ساده است . ابتدا لازم است که یک نقطه را رنگ کنید ، بیایید نقطه (2+1i)

را در نظر بگیریم . برای مقدار c از (1+1i) استفاده می کنیم . به خاطر آورید که c می تواند هر عدد مختلطی باشد . حال این را در معادله قرار می دهیم .

f(n)=f(2+1i)=(2+1i)(2+1i)+(1+1i)

     =2*2+2i+2i+i^2+1+1i=5+5i-1=4+5i                   (i^2=-1)

        این ها مختصات جدید ما هستند . به یاد آورید که اگر یک مجموعه از مختصات را در یک تابع قرار دهید ، نتیجه یک مجموعه ی جدید از مختصات است . 4+5i مجموعه ی مختصات جدید است . هنوز کار تمام نشده است ، عمل بالا یک تکرار را نشان می دهد . مجموعه ی مختصات را وارد تابع می کنیم تا بتوانیم ثابت کنیم که یک نقطه  :

(a روی نمودار قرار نمی گیرد (مثال : در یک نمودار 10*10  مؤلفه های جدید (97 ، 234-) هستند) 

(b هرگز نمودار را ترک نمی کند (این قانون بعد از 200 بار تکرار ، اگر نقطه باز هم روی نمودار باشد ، صادق است .)

        نحوه ی انتخاب رنگ به این صورت است که اگر نقطه بعد از یک بار تکرار نمودار را ترک کند ، یک رنگ به آن نسبت می دهیم . هر نقطه بعد از آن ، که بعد از یک تکرار نمودار را ترک کند ، همان رنگ را دارد . تمام نقاطی که بعد از 2 تکرار نمودار را ترک می کنند ، با یک رنگ مشخص نشان داده می شوند و هر نقطه ای که نمودار را هرگز ترک نکند با رنگ متمایز معمولاً سیاه علامت گذاری می شود . بعد از انجام این فرایند ، برای تمام نقاط داخل این صفحه ، نتیجه ای نظیر این مجموعه ی جولیان می شود .

        تابع f(x)=f(x-1)^2+c   فراکتال دیگری را موسوم به مجموعه ی مندل بروت می ـ سازد.

همان طور که می بینید ، در بسیاری از حالات ، 200 تکرار لازم است تا تنها یک نقطه تعیین شود . در اغلب کامپیوترها ، معمولاً تعداد نقاط برای یک فراکتال 303,200 تاست . به همین دلیل است که برای محاسبه ی عملیات زیاد و دقت انجام آن ها به کامپیوتر نیاز داریم .

        فراکتال ها تصویری از یک زندگی واقعی دارند . کامپیوترها می توانند یک شکل واقعی را بگیرند و با انجام تکرار زیاد به آن شکل تخیلی بدهند . یک معادله ی فراکتال می توان ساخت که شکل ابرها را بسازد . در فیلم ها ی متعددی از فراکتال ها برای چشم انداز پشت صحنه استفاده می کنند .